La mayoria de los modelos matemáticos no pueden resolverse analíticamente, tomemos como ejemplo la segunda ley del movimiento $$ \begin{equation*} F = m a \end{equation*} $$
puede reordenarse como $$ \begin{equation*} a = \frac{F}{m} \end{equation*} $$
donde \( a \) es la variable dependiente, explícitamente no existe variable independiente, \( m \) es un parámetro y \( F \) es una función de fuerza.
Si planteamos el anterior modelo como una ecuación diferencial para un cuerpo en caída libre $$ \begin{equation*} \frac{d v}{d t} = \frac{F}{m} \end{equation*} $$
y \( F \) como la suma de dos fuerzas opuestas $$ \begin{equation*} F = F_{u} + F_{d} \end{equation*} $$
si a la fuerza hacia abajo se le asigna el signo positivo $$ \begin{equation*} F_{d} = m g \end{equation*} $$
entonces la fuerza debido a la resistencia del aire es $$ \begin{equation*} F_{u} = -c v \end{equation*} $$
reemplazando todos los términos conocidos tenemos $$ \begin{equation*} \frac{d v}{d t} = g - \frac{c v}{m} \end{equation*} $$
resolviendo para las condiciones \( v = 0 \) y \( t = 0 \) $$ \begin{equation*} v(t) = \frac{g m}{c} ( 1 - e^{-t \frac{c}{m}}) \end{equation*} $$
donde \( v(t) \) es la variable dependiente, \( t \) es la variable independiente, \( c \) y \( m \) son parámetros y \( g \) es una función de fuerza.
Para un cuerpo con masa \( 68.1 \ kg \). y coeficente de resistencia del aire \( 12.5 \ \frac{kg}{s} \) tenemos:
m = 68.1
c = 12.5
g = 9.81
println("t", '\t', "v")
for t = 0:20
v = ((g * m) / c) * (1 - exp(-t * (c/m)))
println(t, '\t', v)
end
t v
0 0.0
1 8.9623181081134
2 16.42172057920007
3 22.630235447165056
4 27.797627475567975
5 32.09848540102452
6 35.678120697377175
7 38.657477159967954
8 41.13721718829596
9 43.201122828759345
10 44.91892648723751
11 46.34866695173784
12 47.53865032716072
13 48.5290821355503
14 49.35342572499016
15 50.03953288319575
16 50.61058485542108
17 51.08587556049886
18 51.48146346724055
19 51.81071415589995
20 52.08475189602096