Ecuaciones diferenciales ordinarias

La mayoria de los modelos matemáticos no pueden resolverse analíticamente, tomemos como ejemplo la segunda ley del movimiento

$\begin{equation*} F = m a \end{equation*}$

donde

$a$ es la variable dependiente, explícitamente no existe variable independiente,

$m$ es un parámetro y

$F$ es una función de fuerza.

Si planteamos el anterior modelo como una ecuación diferencial para un cuerpo en caída libre

$\begin{equation*} \frac{d v}{d t} = \frac{F}{m} \end{equation*}$

$F$ como la suma de dos fuerzas opuestas

$\begin{equation*} F = F_{u} + F_{d} \end{equation*}$

si a la fuerza hacia abajo se le asigna el signo positivo

$\begin{equation*} F_{d} = m g \end{equation*}$

entonces la fuerza debido a la resistencia del aire es

$\begin{equation*} F_{u} = -c v \end{equation*}$

reemplazando todos los términos conocidos tenemos

$\begin{equation*} \frac{d v}{d t} = g - \frac{c v}{m} \end{equation*}$

resolviendo para las condiciones

$v = 0$ y

$t = 0$

$\begin{equation*} v(t) = \frac{g m}{c} ( 1 - e^{-t \frac{c}{m}}) \end{equation*}$

donde

$v(t)$ es la variable dependiente,

$t$ es la variable independiente,

$c$ y

$m$ son parámetros y

$g$ es una función de fuerza.

Para un cuerpo con masa

$68.1 \ kg$ . y coeficente de resistencia del aire

$12.5 \ \frac{kg}{s}$ tenemos:

m = 68.1
c = 12.5
g = 9.81

println("t", '\t', "v")

for t = 0:20
    v = ((g * m) / c) * (1 - exp(-t * (c/m)))
    println(t, '\t', v)
end

    t	v
    0	0.0
    1	8.9623181081134
    2	16.42172057920007
    3	22.630235447165056
    4	27.797627475567975
    5	32.09848540102452
    6	35.678120697377175
    7	38.657477159967954
    8	41.13721718829596
    9	43.201122828759345
    10	44.91892648723751
    11	46.34866695173784
    12	47.53865032716072
    13	48.5290821355503
    14	49.35342572499016
    15	50.03953288319575
    16	50.61058485542108
    17	51.08587556049886
    18	51.48146346724055
    19	51.81071415589995
    20	52.08475189602096

Solución analítica de modelos matemáticos