Resolver \( u(0 < x < 1) \) para $$ \begin{align*} \frac{d^{2} u(x)}{d x^{2}} + x^{2} &= 0 \\ u(0) &= 0 \\ u(1) &= 0 \\ \end{align*} $$
Se utilizaran cuatro términos en la aproximación $$ \begin{equation*} u(x) \approx \hat u(x) = \sum_{i=0}^{3} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} \end{equation*} $$
reemplazando las condiciones de contorno $$ \begin{align*} \require{cancel} \hat u(0) &= a_{0} + a_{1} (0) + a_{2} (0)^{2} + a_{3} (0)^{3} = 0 \\ \hat u(1) &= \cancel{a_{0}} + a_{1} (1) + a_{2} (1)^{2} + a_{3} (1)^{3} = 0 \end{align*} $$
resolviendo el sistema $$ \begin{align*} a_{0} &= 0 \\ a_{1} &= - a_{2} - a_{3} \end{align*} $$
reemplazando las constantes $$ \begin{equation*} \hat u(x) = - a_{2} x - a_{3} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} = a_{2} (x^{2} - x) + a_{3} (x^{3} - x) \end{equation*} $$
la anterior puede escribirse como $$ \begin{equation*} \hat u(x) = \hat u_{1}(x) + \hat u_{2}(x) \end{equation*} $$
\( \hat u_{x} \) es $$ \begin{equation*} \frac{d \hat u(x)}{d x} = - a_{2} - a_{3} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} \end{equation*} $$
\( \hat u_{xx} \) es $$ \begin{equation*} \frac{d^{2} \hat u(x)}{d x^{2}} = 2 a_{2} + 6 a_{3} x \end{equation*} $$
la función residual es $$ \begin{equation*} R(x) = \frac{d^{2} \hat u(x)}{d x^{2}} + x^{2} = 2 a_{2} + 6 a_{3} x + x^{2} \end{equation*} $$
la función ponderada puede escribirse como $$ \begin{equation*} W(x) = W_{1}(x) + W_{2}(x) \end{equation*} $$
derivando respecto a las variables desconocidas $$ \begin{align*} W_{1}(x) = \frac{d \hat u_{1}(x)}{d a_{2}} &= x^{2} - x \\ W_{2}(x) = \frac{d \hat u_{2}(x)}{d a_{3}} &= x^{3} - x \end{align*} $$
reemplazando en la función ponderada $$ \begin{equation*} W(x) = (x^{2} - x) + (x^{3} - x) \end{equation*} $$
la forma débil de la ecuación diferencial es $$ \begin{equation*} \int_{0}^{1} R(x) W(x) \ dx = \int_{0}^{1} (2 a_{2} + 6 a_{3} x + x^{2}) [(x^{2} - x) + (x^{3} - x)] \ dx = 0 \end{equation*} $$
puede escribirse como la suma de integrales $$ \begin{equation*} \int_{0}^{1} R(x) W_{1}(x) \ dx + \int_{0}^{1} R(x) W_{2}(x) \ dx = 0 \end{equation*} $$
y también como un sistema de ecuaciones $$ \begin{align*} \int_{0}^{1} R(x) W_{1}(x) \ dx &= 0 \\ \int_{0}^{1} R(x) W_{2}(x) \ dx &= 0 \end{align*} $$
reemplazando en la anterior fórmula $$ \begin{align*} \int_{0}^{1} (2 a_{2} + 6 a_{3} x + x^{2}) (x^{2} - x) \ dx &= 0 \\ \int_{0}^{1} (2 a_{2} + 6 a_{3} x + x^{2}) (x^{3} - x) \ dx &= 0 \end{align*} $$
multiplicando y ordenando $$ \begin{align*} \int_{0}^{1} 2 a_{2} x^{2} + 6 a_{3} x^{3} + x^{4} - 2 a_{2} x - 6 a_{3} x^{2} - x^{3} \ dx &= 0 \\ \int_{0}^{1} 2 a_{2} x^{3} + 6 a_{3} x^{4} + x^{5} - 2 a_{2} x - 6 a_{3} x^{2} - x^{3} \ dx &= 0 \end{align*} $$
integrando $$ \begin{align*} \bigg( \frac{2}{3} a_{2} x^{3} + \frac{3}{2} a_{3} x^{4} + \frac{1}{5} x^{5} - a_{2} x^{2} - 2 a_{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} \bigg) \bigg|_{0}^{1} &= 0 \\ \bigg( \frac{1}{2} a_{2} x^{4} + \frac{6}{5} a_{3} x^{5} + \frac{1}{6} x^{6} - a_{2} x^{2} - 2 a_{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} \bigg) \bigg|_{0}^{1} &= 0 \end{align*} $$
reemplazando límites de integración y simplificando $$ \begin{align*} - \frac{1}{3} a_{2} - \frac{1}{2} a_{3} &= \frac{1}{20} \\ - \frac{1}{2} a_{2} - \frac{4}{5} a_{3} &= \frac{1}{12} \end{align*} $$
resolviendo el sistema $$ \begin{align*} a_{2} &= \frac{1}{10} \\ a_{3} &= - \frac{1}{6} \end{align*} $$
reemplazando en la solución aproximada $$ \begin{equation*} \hat u(x) = \frac{1}{10} (x^{2} - x) - \frac{1}{6} (x^{3} - x) = \frac{1}{15} x + \frac{1}{10} x^{2} - \frac{1}{6} x^{3} \end{equation*} $$