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Ejemplo 3

Resolver u(0<x<1) para d2u(x)dx2+x2=0u(0)=0u(1)=0

Se utilizaran cuatro términos en la aproximación ˆu(x)=a0+a1x+a2x2a3x3

reemplazando las condiciones de contorno ˆu(0)=a0+a1(0)+a2(0)2a3(0)3=0ˆu(1)=a0+a1(1)+a2(1)2a3(1)3=0

resolviendo el sistema a0=0a2=a3a1

reemplazando las constantes ˆu(x)=a1x+a3x2a1x2a3x3=a1x(1x)+a3x2(1x)

ˆux es dˆu(x)dx=a1+2a3x2a1x3a3x2

ˆuxx es d2ˆu(x)dx2=2a32a16a3x=2(a3a1)6a3x

la función residual es R(x)=d2ˆu(x)dx2+x2=2(a3a1)6a3x+x2

la función ponderada es W(x)=δa1x(1x)+δa3x2(1x)

la forma débil de la ecuación diferencial es 10R(x)W(x) dx=10[2(a3a1)6a3x+x2][δa1x(1x)+δa3x2(1x)] dx=0

puede escribirse como la suma de integrales 10[2(a3a1)6a3x+x2][δa1x(1x)] dx+10[2(a3a1)6a3x+x2][δa3x2(1x)] dx=0

las constantes salen de la integral δa110[2(a3a1)6a3x+x2][x(1x)] dx=0δa310[2(a3a1)6a3x+x2][x2(1x)] dx=0

multiplicando y ordenando 102a1x+2a3x+2a1x28a3x2+6a3x3+x3x4 dx=0102a1x2+2a3x2+2a1x38a3x3+6a3x4+x4x5 dx=0

integrando (a1x2+a3x2+23a1x383a3x3+32a3x4+14x415x5)|10=0(23a1x3+23a3x3+12a1x42a3x4+65a3x5+15x516x6)|10=0

reemplazando límites de integración y simplificando 13a116a3=12016a1215a3=130

resolviendo el sistema a1=115a3=16

reemplazando en la solución aproximada ˆu(x)=115x(1x)+16x2(1x)=115x+110x216x3