Resolver u(0<x<1) para d2u(x)dx2+x2=0u(0)=0u(1)=0
Se utilizaran cuatro términos en la aproximación ˆu(x)=a0+a1x+a2x2−a3x3
reemplazando las condiciones de contorno ˆu(0)=a0+a1(0)+a2(0)2−a3(0)3=0ˆu(1)=a0+a1(1)+a2(1)2−a3(1)3=0
resolviendo el sistema a0=0a2=a3−a1
reemplazando las constantes ˆu(x)=a1x+a3x2−a1x2−a3x3=a1x(1−x)+a3x2(1−x)
ˆux es dˆu(x)dx=a1+2a3x−2a1x−3a3x2
ˆuxx es d2ˆu(x)dx2=2a3−2a1−6a3x=2(a3−a1)−6a3x
la función residual es R(x)=d2ˆu(x)dx2+x2=2(a3−a1)−6a3x+x2
la función ponderada es W(x)=δa1x(1−x)+δa3x2(1−x)
la forma débil de la ecuación diferencial es ∫10R(x)W(x) dx=∫10[2(a3−a1)−6a3x+x2][δa1x(1−x)+δa3x2(1−x)] dx=0
puede escribirse como la suma de integrales ∫10[2(a3−a1)−6a3x+x2][δa1x(1−x)] dx+∫10[2(a3−a1)−6a3x+x2][δa3x2(1−x)] dx=0
las constantes salen de la integral δa1∫10[2(a3−a1)−6a3x+x2][x(1−x)] dx=0δa3∫10[2(a3−a1)−6a3x+x2][x2(1−x)] dx=0
multiplicando y ordenando ∫10−2a1x+2a3x+2a1x2−8a3x2+6a3x3+x3−x4 dx=0∫10−2a1x2+2a3x2+2a1x3−8a3x3+6a3x4+x4−x5 dx=0
integrando (−a1x2+a3x2+23a1x3−83a3x3+32a3x4+14x4−15x5)|10=0(−23a1x3+23a3x3+12a1x4−2a3x4+65a3x5+15x5−16x6)|10=0
reemplazando límites de integración y simplificando −13a1−16a3=−120−16a1−215a3=−130
resolviendo el sistema a1=115a3=16
reemplazando en la solución aproximada ˆu(x)=115x(1−x)+16x2(1−x)=115x+110x2−16x3